📐 数学・幾何

区間を「開いた毛布（開区間）」で覆っていく。コンパクトとは「どんな覆い方をしても、有限枚だけ選んで覆い直せる」こと。
閉区間 [0,1] はいつでも有限枚で足りる。でも開区間 (0,1) は、端の 0 に向かって毛布を無限に小さくし続けないと覆えない——その「追いつかない」感じを動かして確かめる。覆いの族は Uₙ =（1/(n+1), 1）。

どんな分布から取った値でも、n 個の平均を何度も作ってヒストグラムにすると、n が大きいほど正規分布（ガウス）に近づく。
元の分布がサイコロでも二山でも指数でも関係ない、というのが面白い所。スライダで n を上げて、▶再生で試行をためていくと、形がガウス曲線（点線）に吸い寄せられていくのが見える。

1つの点を置くと、選んだ点群の対称操作が等価位置を生成する。2D版でのざっくりした体験用。
ちゃんとした3D版（全230空間群）は sg.tnks1407.com にある。

X・Y軸に異なる周波数の正弦波を入れると現れる曲線。オシロスコープのXYモードで見るあれ。
周波数比が整数比なら安定した閉曲線になり、位相差が変化すると図形がゆっくり変形していく。

物理の波長は、紫(380nm)から赤(700nm)までの一本の線でしかない。両端は別の色で、つながっていない。
でも知覚は、スペクトルに無い紫（マゼンタ＝赤と青紫の混色）で両端を糊づけして、輪（色相環 S¹）に閉じてしまう。スライダーを動かすと、線が曲がって円になり、間を非スペクトルの紫が埋めるのが見える。位相が「物理」から「知覚」へ移るときに変わる、いい例だよ。

画像を「たくさんの“にじみ”（2次元ガウシアン）の重ね合わせ」で描き直す実験。これが最近のニューラルレンダリング ── 3Dガウシアンスプラッティングの心臓部の、2D版だよ。
スプラット数を増やすほど元画像に近づく。「異方性」をオンにすると、各にじみがエッジに沿って楕円に伸びて、少ない数でも輪郭がシャープになる。なぜ“まんまる”より“楕円”のガウシアンが効くのかが見えるはず。

中心からの引力を F ∝ 1/r^p として、冪 p を変えてみる。私たちの宇宙は p=2（逆二乗）。そこから少しずらすと、軌道は閉じずに回り続けて、バラのような歳差軌道を描く。
じつは「p=2」は空間が3次元だからなんだ。点源から出た力の流束は、広がる球面（面積 ∝ r²）に薄まるので力は 1/r² になる ── これがガウスの法則の幾何的な中身だよ。N次元なら面積 ∝ r^N−1 で F ∝ 1/r^N−1（p=N−1）。そして閉じた軌道を作れるのは p=2（3次元）とバネ p=−1 だけ（ベルトランの定理）。安定してきれいに回る軌道は、3次元の宇宙でこそ自然に生まれる、とも読める。

横に sin(a·t)、縦に sin(b·t + φ) ── 同じ「揺れ」を直交させて重ねるだけで、生き物みたいな曲線が生まれる。
鍵は周波数の比 a:b。比が 1:2、2:3 のように簡単な整数比のときだけ曲線は閉じて、静止した模様になる。比が無理数に近づくと、線はいつまでも閉じずに面を塗りつぶしていく。位相 φ を回すと、同じ比のまま形がふくらんだり潰れたりする。昔のオシロスコープで周波数を合わせるのに使われた図だよ。

正方形にランダムに点を撒く。円の中に落ちた割合は、面積の比 πr²/(2r)² = π/4 に近づくはず。だから (中に落ちた数 ÷ 全部) × 4 ≈ π。
面白いのは、これは賢い式じゃなく、ただの偶然の積み重ねで π が出てくること。そして正直な所も見えてくる ── 点が少ないと推定はフラつくし、精度は点数の平方根でしか良くならない（100倍撒いても桁は1つしか増えない）。誤魔化しの効かない、素朴な乱数のちからだよ。