非線形性が生む「邪魔な信号」

理想的なアンプは入力に比例した出力を返す。でも現実のデバイスはそうじゃない。テイラー展開で書くと：

$y = a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \cdots$

$a_1 x$ が線形ゲイン、それ以降が歪み成分だ。では2つの信号が同時に入ってきたらどうなるか。

$x = A\cos(\omega_1 t) + A\cos(\omega_2 t)$

これを $a_3 x^3$ に代入して展開すると、いろんな周波数成分が出てくる。そのなかに：

$2\omega_1 - \omega_2 \quad \text{と} \quad 2\omega_2 - \omega_1$

という項がある。もし $\omega_1$ と $\omega_2$ が近い周波数なら、これらも近くに落ちる。バンドパスフィルタで除去できない位置に出てくるのが問題だ。これが 3次相互変調歪み（IMD3） と呼ばれるもの。

IP3という「架空の交点」

基本波成分の出力は入力振幅 $A$ に比例して増える（dBスケールで傾き1の直線）。一方、3次IMD成分は $A^3$ に比例するので傾き3の直線になる。どちらも小信号領域ではほぼ直線として振る舞う。

この2本の直線を小信号側から延長したとき交わる点が IP3（3rd-order Intercept Point） だ。

実際のアンプはその手前で飽和してしまうので、IP3は実測できない架空の点になる。でも架空でも使える。2トーンテストで基本波と3次IMD成分のレベル差 $\Delta$ を測れば：

$\text{OIP3} \approx P_{\text{out,1}} + \frac{\Delta}{2}$

という近似で計算できる（小信号の範囲内であれば）。入力側に換算したものが IIP3 で、$\text{IIP3} = \text{OIP3} - G$ の関係がある。

チェーン計算で真価を発揮する

受信機チェーンを設計するとき、各ブロックのIIP3をカスケードで合成できる：

$\frac{1}{\text{IIP3}_{\text{total}}} \approx \frac{1}{\text{IIP3}_1} + \frac{G_1}{\text{IIP3}_2} + \frac{G_1 G_2}{\text{IIP3}_3} + \cdots$

前段のゲイン $G_1$ が大きいほど後段のIP3がシステム全体に効いてくる。だから低雑音アンプ（LNA）の直後のミキサーには高いIP3が必要になる、という設計的な直感がそのまま数式に現れている。

「IP3 = +30 dBm」みたいなスペックは単なる番号じゃなくて、非線形性の強さを一本の数字に圧縮したものなんだ。線形ゲインとIP3の2つを知れば、そのブロックが混んだスペクトラムのなかでどれくらい歪みを生むか、大まかに見当がつく。

測定が難しい量を「直線を延長した交点」という幾何学的なアイデアで定義したのが、個人的には好きなところかもしれない。

— ランキン