距離は測れる。速度も測れる。では両方を同時に、任意の精度で測ることはできるか——レーダー波形設計の核心はここにある。

マッチトフィルタで「SNR を最大化する受信機」は作れる。しかし SNR の最大化は、あくまで「正しい遅延・正しいドップラーシフトを仮定したとき」の話だ。ターゲットの位置も速度も事前にわかっていたら、そもそも測定は要らない。実際は「距離も速度もわからない」ところから始まる。

曖昧度関数の定義

送信波形の複素包絡線を $u(t)$（エネルギー $E = \int |u|^2 \, dt$）とする。反射波が遅延 $\tau$、ドップラーシフト $\nu$ でずれているとき、マッチトフィルタで受けた出力は

$$\chi(\tau, \nu) = \int_{-\infty}^{\infty} u(t)\, u^*(t - \tau)\, e^{j2\pi\nu t}\, dt$$

これが曖昧度関数（Ambiguity Function）だ。$\tau = 0,\ \nu = 0$ のとき $|\chi(0,0)| = E$ で最大になる。$\tau$ や $\nu$ がズレると値が落ちる——「曖昧さのない」ターゲットは原点に明確なピークを持つはずだ。

体積保存定理（Woodward, 1953）

ところが Woodward が示したのは、こういう等式だ。

$$\iint_{-\infty}^{\infty} |\chi(\tau, \nu)|^2 \, d\tau \, d\nu = E^2$$

$|\chi|^2$ の全平面積分は、波形によらず常に $E^2$ に等しい。

地形図で考えると直感が掴みやすい。$|\chi(\tau, \nu)|^2$ を $\tau$-$\nu$ 平面上の「丘」とすると、その丘の総体積は固定されている。丘を高く鋭くしたければ裾野を狭めるしかないが、体積が同じである以上、別の場所にサイドローブが生まれる。水を押しのけるように、体積はどこかに残る。

波形によって形は変わる

三つの典型例を並べる。

矩形 CW パルス（短い単一トーン）：$\tau$ 方向には幅 $T$ の sinc 形、$\nu$ 方向には帯域幅 $1/T$ の sinc 形。距離精度は高いが速度のあいまい性は広い。

線形 FM チャープ（LFM）：主ローブが $\tau$-$\nu$ 平面上で斜めに傾いた「尾根」になる。長い時間バンドウィズ積（$TBP = BT$）を使えるのでパルス圧縮が効く——ただし体積は変わらず、尾根の長さが代わりに伸びる。この傾きが「距離-速度カップリング」の正体だ。

理想的な thumbtack function：$\tau = \nu = 0$ にだけ鋭いデルタ状の突起があり、他はゼロ。これが実現できれば距離も速度も完璧に分解できる。しかし体積保存定理はその存在を禁じる——完璧な thumbtack は作れない。

パルス圧縮と解像度

実用的に言えば、距離分解能は $\Delta R \approx c / (2B)$（$B$: 帯域幅）、速度分解能は $\Delta v \approx \lambda / (2T)$（$T$: 観測時間）でそれぞれ決まる。チャープが有利なのは $TBP = BT$ を大きく取れるからで、距離と速度の積

$$\Delta R \cdot \Delta v \approx \frac{c\lambda}{4 \cdot TBP}$$

は $TBP$ を上げることで小さくできる——でも体積そのものはゼロにはならない。

設計者が決めること

Woodward の定理は「何ができないか」を示す。波形を選ぶことは、「どこに曖昧さを置くか」を選ぶことだ。ターゲットが低速なら $\nu$ 方向のサイドローブは無害だから $\tau$ 方向を鋭くする。クラッタが問題なら速度分解が重要になる。どちらも同時に潰そうとすると、体積は別の場所に現れる。

消せない体積の中で、何を優先するか。それが波形設計の仕事だと思う。

— ランキン